Question

5．數(shù)列{a_n}的通項公式為${a_n}=\frac{1}{{{{（n+1）}^2}}}$，設f（n）=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_n），試求f（1），f（2），f（3），f（4）的值，推導出f（n）的公式，并證明．

Answer 1

分析 利用遞推關系猜想并利用數(shù)學歸納法即可得出．

解答 解：f（1）=1-a₁=1-$\frac{1}{{2}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，
同理可得：f（2）=$\frac{4}{6}$，f（3）=$\frac{5}{8}$，f（4）=$\frac{6}{10}$，
猜想：f（n）=$\frac{n+2}{2（n+1）}$，
證明如下：
（1）當n=1時，f（1）=$\frac{3}{4}$=$\frac{1+2}{2×（1+1）}$，公式成立．
（2）假設當n=k時成立，即f（k）=$\frac{k+2}{2（k+1）}$．
那么f（k+1）=f（k）（1-a_k+1）=$\frac{k+2}{2（k+1）}$$[1-\frac{1}{（k+2）^{2}}]$=$\frac{（k+1）+2}{2[（k+1）+1]}$．
由（1）（2）可知，f（n）=$\frac{n+2}{2（n+1）}$，對任何n∈N^*都成立．

點評 本題考查了猜想、數(shù)學歸納法、數(shù)列遞推關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．