Question

13．5個(gè)人站成一列，重新站隊(duì)時(shí)各人都不站在原來的位置上，共有（　�。┓N不同的站法．

• A． 42
• B． 44
• C． 46
• D． 48

Answer 1

分析 方法一：根據(jù)容斥原理即可求出，
方法二：根據(jù)數(shù)列的遞推公式即可求出．

解答 解：方法一：設(shè)原來站在第i個(gè)位置的人是（i=1，2，3，4，5），
重新站隊(duì)時(shí)，站在第2個(gè)位置的站法有4!種，其中不符合要求的有：站第3位的3!種，站第4位的3!種，
但有的站法在考慮的情形時(shí)已經(jīng)減去了，故只應(yīng)再算（3!-2!）種，
同理，站第5位的應(yīng)再算[3!-2!（2!-1!）]種，
站在第3，4，5位的情形與站在第2位的情形時(shí)對(duì)等的，
故所有符合要求的站法有：4{4!-3!-（3!-2!）-[3!-2!-（2!-1!）]}=44（種），
方法二：首先我們把人數(shù)推廣到 n個(gè)人，即n個(gè)人排成一列，重新站隊(duì)時(shí)，各人都不站在原來的位置上．設(shè)滿足這樣的站隊(duì)方式有a_n種，現(xiàn)在我們來通過合理分步，恰當(dāng)分類找出遞推關(guān)系：
第一步：第一個(gè)人不站在原來的第一個(gè)位置，有n-1種站法．
第二步：假設(shè)第一個(gè)人站在第2個(gè)位置，則第二個(gè)人的站法又可以分為兩類：第一類，第二個(gè)人恰好站在第一個(gè)位置，則余下的n-2個(gè)人有a_n-2種站隊(duì)方式；第二類，第二個(gè)人不站在第一個(gè)位置，則就是第二個(gè)人不站在第一個(gè)位置，第三個(gè)人不站在第三個(gè)位置，第四個(gè)人不站在第四個(gè)位置，…，第n個(gè)人不站在第n個(gè)位置，所以有a_n-1種站隊(duì)方式．
由分步計(jì)數(shù)原理和分類計(jì)數(shù)原理，我們便得到了數(shù)列a_n的遞推關(guān)系式：
a_n=（n-1）×（a_n-1+a_n-2），顯然，a₁=0，a₂=1，a3=2，a₄=9，a₅=44，有44種排法
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了錯(cuò)位排列問題，掌握容斥原理是關(guān)鍵，屬于難題．