Question

7．已知函數(shù)f（x）=|x-3|．
（1）求不等式f（x）＜2+|x+1|的解集；
（2）已知m，n∈R⁺且$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=2mn，求證：mf（n）+nf（-m）≥6．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)絕對值不等式的解法，利用分類討論的思想進行求解即可．
（2）利用基本不等式，結(jié)合絕對值的性質(zhì)進行證明即可．

解答 解：（1）由f（x）＜2+|x+1|得|x-3|＜2+|x+1|，
即|x-3|-|x+1|＜2，
即當(dāng)x＜-1時，不等式等價為-x+3+x+1＜2，即4＜2，此時不等式無解，
當(dāng)-1≤x≤3時，不等式等價為-x+3-x-1＜2，即-2x+2＜2，得x＞0，此時0＜x≤3，
當(dāng)x＞3時，不等式等價為x-3-x-1＜2，即-4＜2，成立，此時x＞3，
綜上不等式的解為x＞0，
即不等式的解集為（0，+∞）；
（2）已知m，n∈R⁺且$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=2mn，
∴2mn≥2$\sqrt{\frac{1}{m}•\frac{1}{n}}$=$\frac{2}{\sqrt{mn}}$，
則mn≥1，
則mf（n）+nf（-m）=m|n-3|+n|-m-3|=|mn-3n|+|mn+3n|≥|（mn-3n-（mn+3m）|=3|m+n|≥6$\sqrt{mn}$≥6．

點評 本題主要考查絕對值不等式的解法和證明，利用分類討論的思想結(jié)合絕對值的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．