Question

對于函數(shù)y=f（x）（x∈D），若存在區(qū)間[a，b]⊆D，f（x）在[a，b]上的值域為[ka，kb]（k＞0），則函數(shù)f（x）為“倍值函數(shù)”，已知f（x）=e^x+x為“倍值函數(shù)”，則實數(shù)k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)的值域

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：本題通過函數(shù)的單調性，研究函數(shù)f（x）=e^x+x在區(qū)間[a，b]上的值域，再根據(jù)題目中“倍值函數(shù)”的定義，比較值域與定義域的關系，得到關于k的關系式，通過參變量分離后，求函數(shù)的極值，從而求出k的取值范圍，要注意函數(shù)值的變化趨勢，即得到本題結論．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=e^x+x，
∴函數(shù)f（x）在R上單調遞增．
∵x∈[a，b]，
∴f（a）≤f（x）≤f（b）．
∴e^a+a=ka，
e^b+b=kb，
∴a、b是方程e^x+x-kx=0兩個不相等的實數(shù)根，
∴k=

ex

x

+1，
記g（x）=

ex

x

+1，
g′（x）=

exx-ee

x2

=

ex(x-1)

x2

，
當x＜1時，g′（x）＜0，g（x）單調遞減，
當x＞1時，g′（x）＞0，g（x）單調遞增，
當x=1時，g′（x）=0，g（x）取極小值，g（1）=e+1，
∴k≥e+1．
故答案為：（e+1，+∞）．

點評：本題考查了函數(shù)與方程、導數(shù)與極值，本題題型靈活，總體難度不大，屬于基礎題．