Question

6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線C的離心率為$\sqrt{2}$，且雙曲線C與斜率為2的直線l有一個公共點P（-2，0）．
（1）求雙曲線C的方程及它的漸近線方程；
（2）求以直線l與坐標(biāo)軸的交點為焦點的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析 （1）由題意，設(shè)雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0）．由點P（-2，0）在雙曲線上，可得a=2．利用$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$，可得c．利用c²=a²+b²，可得b．即可得出方程及其漸近線方程．
（2）由題意，直線l的方程為y=2（x+2），可得直線l與坐標(biāo)軸交點分別為F₁（-2，0），F(xiàn)₂（0，4）．即可得出相應(yīng)的拋物線方程．

解答 解：（1）由題意，設(shè)雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0）．
∵點P（-2，0）在雙曲線上，∴a=2．
∵雙曲線C的離心率為$\sqrt{2}$，∴c=2$\sqrt{2}$．
∵c²=a²+b²，∴b=2．
∴雙曲線的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
其漸近線方程為：y=±x．
（2）由題意，直線l的方程為y=2（x+2），即y=2x+4，
直線l與坐標(biāo)軸交點分別為F₁（-2，0），F(xiàn)₂（0，4）．
∴以F₁（-2，0）為焦點的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=-8x；
以F₂（0，4）為焦點的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²=16y．

點評 本題考查了拋物線與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與坐標(biāo)軸相交問題問題，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．