Question

設(shè)a為正實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=ae^x（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的圖象與y軸的交點(diǎn)為A，函數(shù)g（x）=ln

x

a

的圖象與x軸的交點(diǎn)為B，若點(diǎn)A到函數(shù)g（x）的圖象上的任意一點(diǎn)的線段長(zhǎng)的最小值為|AB|．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）對(duì)任意x＞0且x≠1，

x-m

g(x)

＞

x

恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì),指數(shù)函數(shù)綜合題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由題意求出A（0，2a）、B（a，0），由|AB|取到最小值的條件求出a的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得g（x）=lnx，代入

x-m

g(x)

＞

x

化簡(jiǎn)，對(duì)x分類討論，分別化簡(jiǎn)不等式，并構(gòu)造函數(shù)h（x），利用導(dǎo)數(shù)判斷出h（x）的單調(diào)性并求出最值，再求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由題意得f（0）=a•e⁰=a，則A（0，a），
由g（x）=ln

x

a

=0解得x=a，則B（a，0），
若使A到B的長(zhǎng)度為A到另一條曲線上任意點(diǎn)間距離的最小值，
則直線AB必垂直于曲線y=g（x）在B點(diǎn)的切線，
又g′（x）=

a

x

×

1

a

=

1

x

，kAB=

a-0

0-a

=-1，
所以

1

a

×(-1)=-1，解得a=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，g（x）=lnx，則

x-m

g(x)

＞

x

為：

x-m

lnx

＞

x

，
當(dāng)x＞1時(shí)，

x-m

lnx

＞

x

等價(jià)于x-m＞

x

lnx，即m＜x-

x

lnx，
令h（x）=x-

x

lnx（x＞1），
則h′（x）=1-

1

2 x

lnx-

x

×

1

x

=1-

lnx+2

2 x

＞0，
所以函數(shù)h（x）在（1，+∞）是增函數(shù)，h（x）＞h（1）=1，即m≤1；
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，

x-m

lnx

＞

x

等價(jià)于x-m＜

x

lnx，即m＞x-

x

lnx，
令h（x）=x-

x

lnx（0＜x＜1），同理h′（x）=1-

lnx+2

2 x

＜0，
所以函數(shù)h（x）在（0，1）是減函數(shù)，h（x）＜h（0），即m≥0；
綜上得，實(shí)數(shù)m的取值范圍是[0，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、最值的關(guān)系，以及不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，考查轉(zhuǎn)化思想和構(gòu)造法，屬于中檔題．