Question

19．設m∈R，直線x+my=0與直線mx-y-2m+4=0交于點P（x，y），則點P到直線l：（x-1）cosθ+（y-2）sinθ=3距離的最大值為3+$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 直線x+my=0與直線mx-y-2m+4=0垂直，并且分別過定點（0，0），（2，4），從而得到點P的軌跡為以（1，2）為圓心，$\sqrt{5}$為半徑的圓，圓心（1，2）到直線l：（x-1）cosθ+（y-2）sinθ=3的距離d=$\frac{|-3|}{\sqrt{co{s}^{2}θ+si{n}^{2}θ}}$=3$＞\sqrt{5}$，由此能求出點P到直線l：（x-1）cosθ+（y-2）sinθ=3距離的最大值．

解答 解：∵直線x+my=0與直線mx-y-2m+4=0垂直，并且分別過定點（0，0），（2，4），
m∈R，直線x+my=0與直線mx-y-2m+4=0交于點P（x，y），
∵（0，0），（2，4）兩點所成線段的中點為（1，2），所成線段長為$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴點P的軌跡為以（1，2）為圓心，$\sqrt{5}$為半徑的圓，
圓心（1，2）到直線l：（x-1）cosθ+（y-2）sinθ=3的距離d=$\frac{|-3|}{\sqrt{co{s}^{2}θ+si{n}^{2}θ}}$=3$＞\sqrt{5}$，
∴點P到直線l：（x-1）cosθ+（y-2）sinθ=3距離的最大值為$3+\sqrt{5}$．
故答案為：3+$\sqrt{5}$．

點評 本題考查點到直線的距離的最大值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意點的軌跡方程、圓的性質、點到直線的距離公式的合理運用．