分析 (Ⅰ)推導(dǎo)出CD⊥SB,SB⊥SC,從而∠GDS為所求線面角,由此能求出GD與平面SCD所成角的正弦值.
(Ⅱ)在平面SBC內(nèi),過點(diǎn)B作BQ∥CS,以B為原點(diǎn),分別以射線BQ,BS,BA為x軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出平面SAD與平面SBC所成銳二面角的余弦值.
解答 (本小題滿分12分)
解:(Ⅰ)∵CD⊥平面SBC,∴CD⊥SB,…(1分)
∵SB⊥SC,且SC與CD交于C點(diǎn),
∴SB⊥平面SDC,∵G為SB上一點(diǎn),
∴∠GDS為所求線面角.…(3分)
∵$DS=\sqrt{5}$,GS=1,$DG=\sqrt{6}$,…(4分)
∴$sin∠GDS=\frac{{\sqrt{6}}}{6}$,
∴GD與平面SCD所成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{6}}}{6}$.…(6分)
(Ⅱ)如圖,在平面SBC內(nèi),過點(diǎn)B作BQ∥CS,
∵BS⊥SC,∴BQ⊥BS,
又∵AB⊥平面SBC,∴AB⊥BS,AB⊥BQ,
以B為原點(diǎn),分別以射線BQ,BS,BA為x軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,
則A(0,0,2),B(0,0,0),S(0,2,0),D(2,2,1).…(7分)
∵AB⊥平面SBC,∴$\overrightarrow{BA}=(0,\;\;0,\;\;2)$為平面SBC的法向量,…(8分)
設(shè)$\overrightarrow n=(x,\;\;y,\;\;z)$為平面SAD的法向量.
又$\overrightarrow{AS}=(0,\;\;2,\;\;-2)$,$\overrightarrow{AD}=(2,\;\;2,\;\;-1)$,
可得$\overrightarrow n=(-1,\;\;2,\;\;2)$,…(10分)
∴cos<$\overrightarrow{n},\overrightarrow{BA}$>=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BA}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{BA}|}$=$\frac{2}{3}$,
∴平面SAD與平面SBC所成銳二面角的余弦值為$\frac{2}{3}$.…(12分)
點(diǎn)評 本題考查線面所成角的正弦值的求法,考查二面角的余弦值的求法,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 2x-y-1=0 | B. | 2x+y-1=0 | C. | x-2y-1=0 | D. | x+2y+1=0 |
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A. | {-1} | B. | {1} | C. | {3} | D. | {-1,3} |
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A. | 0 | B. | 5 | C. | 7 | D. | 10 |
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A. | (4,3) | B. | {4,-3} | C. | {(4,3)} | D. | {(4,-3)} |
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