Question

18．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+1}$．
（Ⅰ）計(jì)算a₂，a₃，a₄，并由此猜想通項(xiàng)公式a_n；
（Ⅱ）用數(shù)學(xué)歸納法證明（Ⅰ）中的猜想．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)遞推式依次計(jì)算a₂，a₃，a₄；
（II）先驗(yàn)證n=1時(shí)情況，假設(shè)n=k時(shí)猜想成立，證明n=k+1時(shí)結(jié)論正確即可．

解答 解：（I）a₂=$\frac{1}{{a}_{1}+1}=\frac{1}{2}$，a₃=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{2}+1}=\frac{1}{3}$，a₄=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{3}+1}$=$\frac{1}{4}$．
猜想：a_n=$\frac{1}{n}$．
（II）n=1時(shí)，a₁=1，猜想正確，
假設(shè)n=k（k≥2，k∈N^*）時(shí)，猜想正確，即a_k=$\frac{1}{k}$，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+1}$=$\frac{\frac{1}{k}}{\frac{1}{k}+1}=\frac{1}{k+1}$．
∴n=k+1時(shí)，猜想正確．
∴對(duì)一切n∈N^*，猜想正確．
∴a_n=$\frac{1}{n}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)學(xué)歸納法，掌握數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟是關(guān)鍵，屬于中檔題．