Question

10．當(dāng)x＞y＞e-1時(shí)，證明不等式：e^xln（1+y）＞e^yln（1+x）．

Answer 1

分析 原不等式即為$\frac{{e}^{x+1}}{ln（x+1）}$＞$\frac{{e}^{y+1}}{ln（y+1）}$，構(gòu)造函數(shù)h（t）=$\frac{{e}^{t}}{lnt}$，求出導(dǎo)數(shù)，判斷符號(hào)，可得單調(diào)性，即可得證．

解答 證明：不等式e^xln（1+y）＞e^yln（1+x）即為
e^x+1ln（1+y）＞e^y+1ln（1+x），
由x+1＞y+1＞e，即有$\frac{{e}^{x+1}}{ln（x+1）}$＞$\frac{{e}^{y+1}}{ln（y+1）}$．
構(gòu)造函數(shù)h（t）=$\frac{{e}^{t}}{lnt}$，
則h′（t）=$\frac{{e}^{t}（lnt-\frac{1}{t}）}{l{n}^{2}t}$，
可知函數(shù)在（e，+∞）上h′（t）＞0，
即函數(shù)h（x）在（e，+∞）上單調(diào)遞增，
由于x＞y＞e-1，可得x+1＞y+1＞e，即有$\frac{{e}^{x+1}}{ln（x+1）}$＞$\frac{{e}^{y+1}}{ln（y+1）}$，
即為e^xln（1+y）＞e^yln（1+x）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，注意運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)法，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，考查推理能力，屬于中檔題．