Question

若對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有f（x）=log_a（2+e^x-1）≤-1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先對(duì)a進(jìn)行分類討論：當(dāng)a＞1時(shí)，由log_a（2+e^x-1）≤-1，不可能對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由log_a（2+e^x-1）≥-1，得出2+e^x-1的最小值≥

1

a

，從而求得a的取值范圍．

解答： 解：當(dāng)a＞1時(shí)，由log_a（2+e^x-1）≤-1，得：
2+e^x-1≤

1

a

，由于2+e^x-1→+∞，故2+e^x-1≤

1

a

，不可能對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由log_a（2+e^x-1）≥-1，得：
2+e^x-1≥

1

a

，
故2+e^x-1的最小值≥

1

a

，
即

1

a

≤2，
∴a≥

1

2

，
∴

1

2

≤a＜1，
故答案為：[

1

2

，1）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．