Question

請(qǐng)仔細(xì)閱讀以下材料：
已知f（x）是定義在（0，+∞）上的單調(diào)遞增函數(shù)．
求證：命題“設(shè)a，b∈R⁺，若ab＞1，則f(a)+f(b)＞f(

1

a

)+f(

1

b

)”是真命題．
證明 因?yàn)閍，b∈R⁺，由ab＞1得a＞

1

b

＞0．
又因?yàn)閒（x）是定義在（0，+∞）上的單調(diào)遞增函數(shù)，
于是有f(a)＞f(

1

b

)．      ①
同理有f(b)＞f(

1

a

)．      ②
由①+②得f(a)+f(b)＞f(

1

a

)+f(

1

b

)．
故，命題“設(shè)a，b∈R⁺，若ab＞1，則f(a)+f(b)＞f(

1

a

)+f(

1

b

)”是真命題．
請(qǐng)針對(duì)以上閱讀材料中的f（x），解答以下問(wèn)題：
（1）試用命題的等價(jià)性證明：“設(shè)a，b∈R⁺，若f(a)+f(b)＞f(

1

a

)+f(

1

b

)，則：ab＞1”是真命題；
（2）解關(guān)于x的不等式f（a^x-1）+f（2^x）＞f（a^1-x）+f（2^-x）（其中a＞0）．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,四種命題,其他不等式的解法

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）先寫(xiě)出原命題的逆否命題：設(shè)a，b∈R⁺，若ab≤1，則：f(a)+f(b)≤f(

1

a

)+f(

1

b

)，由于原命題與原命題的逆否命題是等價(jià)命題，證明原命題的逆否命題為真命題；
（2）利用（1）的結(jié)論有：a^x-1•2^x＞1，即：（2a）^x＞a，再分①當(dāng)2a＞1時(shí)、②當(dāng)0＜2a＜1時(shí)、③當(dāng)2a=1時(shí)三種情況，寫(xiě)出不等式的解集．

解答： 解：（1）原命題與原命題的逆否命題是等價(jià)命題．
原命題的逆否命題：設(shè)a，b∈R⁺，若ab≤1，則：f(a)+f(b)≤f(

1

a

)+f(

1

b

)，
下面證明原命題的逆否命題為真命題：
因?yàn)閍，b∈R⁺，由ab≤1，得：0＜a≤

1

b

，
又f（x）是定義在（0，+∞）上的單調(diào)遞增函數(shù)
所以f(a)≤f(

1

b

 )…（1）
同理有：f(b)≤f(

1

a

 )…（2）
由（1）+（2）得：f(a)+f(b)≤f(

1

a

)+f(

1

b

)
所以原命題的逆否命題為真命題
所以原命題為真命題．

（2）由（1）的結(jié)論有：a^x-1•2^x＞1，即：（2a）^x＞a，
①當(dāng)2a＞1時(shí)，即a＞

1

2

時(shí)，不等式的解集為：（log_2aa，+∞）；
②當(dāng)0＜2a＜1時(shí)，即0＜a＜

1

2

時(shí)，不等式的解集為：（-∞，log_2aa）；
③當(dāng)2a=1時(shí)，即a=

1

2

時(shí)，不等式的解集為：R．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查抽象函數(shù)的綜合應(yīng)用，并同時(shí)考查證明真命題的方法，其中，原命題與原命題的逆否命題是等價(jià)命題是解決本題的關(guān)鍵．