如圖,直角梯形與等腰直角三角形所在的平面互相垂直.,,

(1)求證:;
(2)求直線與平面所成角的正弦值;

(1)取中點,連結,.證得,由四邊形為直角梯形,得到,證得平面.推出
(2)直線與平面所成角的正弦值為

解析試題分析:(1)證明:取中點,連結

因為,所以            2分
因為四邊形為直角梯形,
,
所以四邊形為正方形,所以.     4分
所以平面.   
所以 .            6分        
(2)解法1:因為平面平面,且
所以BC⊥平面                          8分
即為直線與平面所成的角               9分
設BC=a,則AB=2a,,所以
則直角三角形CBE中,          。11分
即直線與平面所成角的正弦值為.            。12分
解法2:因為平面平面,且 ,

所以平面,所以
兩兩垂直,建立如圖所示的空間直角坐標系. 因為三角形為等腰直角三角形,所以,設

所以 ,平面的一個法向量為
設直線與平面所成的角為,
所以 ,           
即直線與平面所成角的正弦值為.(參照解法1給步驟分)     12分
考點:本題主要考查立體幾何中的垂直關系,角的計算。
點評:典型題,立體幾何題,是高考必考內容,往往涉及垂直關系、平行關系、角、距離及體積的計算。在計算問題中,有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法,要遵循“一作、二證、三計算”的步驟,利用向量則能簡化證明過程。本題給出了兩種解法,便于比較借鑒。

練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

如圖四棱錐E—ABCD中,底面ABCD是平行四邊形。∠ABC=45°,BE=BC=   EA=EC=6,M為EC中點,平面BCE⊥平面ACE,AE⊥EB

(I)求證:AE⊥BC (II)求四棱錐E—ABCD體積

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已知正方體中,面中心為

(1)求證:;
(2)求異面直線所成角.

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如圖,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是平行四邊形,M、N分別是AB、PC的中點,且.證明:平面PAD⊥平面PDC.

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長方體中,底面是正方形,,上的一點.

⑴求異面直線所成的角;
⑵若平面,求三棱錐的體積;

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如圖,中,側棱與底面垂直,,,點分別為的中點.

(1)證明:;
(2)求二面角的正弦值.

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如圖,為圓的直徑,點在圓上,矩形所在的平面和圓所在的平面互相垂直,且.

(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求三棱錐的體積.

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如圖。在直三棱柱ABC—A1B1C1中,AB=BC=2AA1,∠ABC=90°,M是BC中點。

(I)求證:A1B∥平面AMC1;
(II)求直線CC1與平面AMC1所成角的正弦值;
(Ⅲ)試問:在棱A1B1上是否存在點N,使AN與MC1成角60°?若存在,確定點N的位置;若不存在,請說明理由。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

如圖,在四棱錐中,平面,底面是菱形,,

(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)若,求二面角的余弦值.

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