Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{{x^2}+2x+a}}{x}$，當(dāng)x≥1時(shí)f（x）＞0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，-3]
• B． （-3，+∞）
• C． [-5，-2]
• D． （-5，-3）

Answer 1

分析 根據(jù)題意得出x²+2x+a＞0在x＞1時(shí)恒成立，列出a＞-x²-2x；
利用函數(shù)求出g（x）=-x²-2x在x≥1時(shí)的最值即可得出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\frac{{{x^2}+2x+a}}{x}$，
當(dāng)x≥1時(shí)f（x）＞0恒成立，
得x²+2x+a＞0，
即a＞-x²-2x；
設(shè)g（x）=-x²-2x，x＞1，
則g（x）=-（x+1）²+1，
當(dāng)x＞1時(shí)，g（x）＜-（1+1）²+1=-3，
所以a＞-3；
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-3，+∞）．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了不等式恒成立問題，也考查了函數(shù)在某一區(qū)間上的最值問題，是基礎(chǔ)題目．