Question

17．設(shè)函數(shù)f（x）=e^x-ax，x∈R．
（1）當(dāng)a=2時，求曲線f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（2）在（1）的條件下，求證：f（x）＞0；
（3）求證：lnx＜x；
（4）a＞1時，求函數(shù)f（x）在[0，a]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點，由點斜式方程即可得到所求切線的方程；
（2）證明當(dāng)x=ln2時，函數(shù)最小值是f（ln2）=2-ln2＞0即可；
（3）M（a）=a-lna在（1，+∞）上單調(diào)遞增，且M（1）=1，即可證明；
（4）f（x）在[0，a]上的最大值等于max{f（0），f（a）}，再進(jìn)行比較，即可得出結(jié)論．

解答 （1）解：當(dāng)a=2時，f（x）=e^x-2x，f（0）=1，
所以f′（x）=e^x-2．
所以f′（0）=e⁰-2=-1，即切線的斜率為-1，
所以切線方程為y-1=-（x-0），即x+y-1=0．           …（4分）
（2）證明：由（1）知f′（x）=e^x-2．
令f′（x）=e^x-2=0，則x=ln2．
當(dāng)x＜ln2時，f′（x）＜0，f（x）在（-∞，ln2）上單調(diào)遞減，
當(dāng)x＞ln2時，f′（x）＞0，f（x）在（ln2，+∞）上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)x=ln2時，函數(shù)最小值是f（ln2）=2-ln2＞0．
命題得證．                                                …（8分）
（3）證明：因為f（x）=e^x-ax，所以f′（x）=e^x-a．
令f′（x）=e^x-a=0，則x=lna＞0．
當(dāng)a＞1時，設(shè)M（a）=a-lna，因為M′（a）=$\frac{a-1}{a}$＞0，
所以M（a）=a-lna在（1，+∞）上單調(diào)遞增，且M（1）=1，
所以M（a）=a-lna＞0在（1，+∞）恒成立，即a＞lna．可得lnx＜x；
（4）解：由（3）當(dāng)x∈（0，lna），f′（x）＜0，f（x）在（0，lna）上單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（lna，a），f′（x）＞0，f（x）在（lna，a）上單調(diào)遞增．
所以f（x）在[0，a]上的最大值等于max{f（0），f（a）}，
因為f（0）=1，f（a）=e^a-a²，
不妨設(shè)h（a）=f（a）-f（0）=e^a-a²-1（a＞1），
所以h′（a）=e^a-2a．
由（2）知h′（a）=e^a-2a＞0在（1，+∞）恒成立，
所以h（a）=f（a）-f（0）=e^a-a²-1在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
又因為h（1）=e-2＞0，
所以h（a）＞0在（1，+∞）恒成立，即f（a）＞f（0）．
所以當(dāng)a＞1時，f（x）在[0，a]上的最大值為f（a）=e^a-a²．   …（13分）

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間，考查不等式恒成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．