2．我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家．某市政府為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照[0，0.5），[0.5，1），…[4，4.5）分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．

（1）求直方圖中a的值；
（2）設(shè)該市有30萬居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3.5噸的人數(shù)，并說明理由；
（3）若在該選取的100人的樣本中，從月均用水量不低于3.5噸的居民中隨機(jī)選取3人，求至少選到1名月均用水量不低于4噸的居民的概率．

分析 （1）由頻率統(tǒng)計(jì)相關(guān)知識(shí)，各組頻率之和的值為1，由此能求出a．
（2）由圖求出不低于3.5噸人數(shù)所占百分比，由此能估計(jì)全市月均用水量不低于3.5噸的人數(shù)．
（3）由不低于3.5噸人數(shù)所占百分比為6%，得該選取的100人的樣本中，月均用水量不低于3.5噸的居民有6人，其中[3.5，4）之間有4人，[4，4.5）之間有2人，由此能求出從6人中取出3人，至少選到1名月均用水量不低于4噸的居民的概率．

解答 解：（1）由頻率統(tǒng)計(jì)相關(guān)知識(shí)，各組頻率之和的值為1，
∵頻率=$\frac{頻率}{組距}×組距$，
∴0.5×（a+0.16+0.3+0.4+0.52+0.3+0.12+a+0.04）=1
得a=0.08．
（2）由圖，不低于3.5噸人數(shù)所占百分比為0.5×（0.08+0.04）=6%，
∴估計(jì)全市月均用水量不低于3.5噸的人數(shù)為：30×6%=1.8（萬），
（3）由（2）不低于3.5噸人數(shù)所占百分比為0.5×（0.08+0.04）=6%，
因此該選取的100人的樣本中，月均用水量不低于3.5噸的居民有100×6%=6人，
其中[3.5，4）之間有4人，[4，4.5）之間有2人，從6人中取出3人，
共有${C}_{6}^{3}$=20種取法，
利用互斥事件分類討論，3人中在[4，4.5）之間有1人，[3.5，4）之間有2人，共有12種取法，
3人中在[4，4.5）之間有2人，[3.5，4）之間有1人，共有4種取法，
所以至少選到1名月均用水量不低于4噸的居民的概率為：
p=$\frac{12}{20}+\frac{4}{20}$=$\frac{4}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意頻率分布直方圖的性質(zhì)的合理運(yùn)用．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

12．已知函數(shù)f（x）=ex，g（x）=lnx+1，
（1）求函數(shù)h（x）=f（x-1）-g（x）在區(qū)間[1，+∞）上的最小值；
（2）已知1≤y＜x，求證：ex-y-1＞lnx-lny；
（3）設(shè)H（x）=（x-1）2f（x），在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)是否存在區(qū)間[a，b]（a＞1），使函數(shù)H（x）在區(qū)間[a，b]的值域也是[a，b]？請(qǐng)給出結(jié)論，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

13．班主任為了對(duì)本班學(xué)生的考試成績進(jìn)行分析，決定從全班36名女同學(xué)，24名男同學(xué)中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為5的樣本進(jìn)行分析．
（1）如果按性別比例分層抽樣，可以得到多少個(gè)不同的樣本？（只要求寫出計(jì)算式即可）
（2）隨機(jī)抽取5位，他們的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)從小到大排序是：89，91，93，95，97，物理分?jǐn)?shù)從小到大排序是：87，89，89，92，93
①若規(guī)定90分以上為優(yōu)秀，求這5位同學(xué)中恰有2位同學(xué)的數(shù)學(xué)和物理分?jǐn)?shù)均為優(yōu)秀的概率；②若這5位同學(xué)的數(shù)學(xué)、物理分?jǐn)?shù)事實(shí)上對(duì)應(yīng)如表：
學(xué)生編號(hào)12345
數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)x8991939597
物理分?jǐn)?shù)y8789899293
根據(jù)上表數(shù)據(jù)，用變量y與x的相關(guān)系數(shù)或散點(diǎn)圖說明物理成績y與數(shù)學(xué)成績x之間線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱．如果具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，求y與x的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；如果不具有線性相關(guān)性，請(qǐng)說明理由．
參考公式：相關(guān)系數(shù)r=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}}}$；回歸直線的方程是：$\stackrel{∧}{y}$=bx+a，其中對(duì)應(yīng)的回歸估計(jì)值b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$，$\stackrel{∧}{{y}_{i}}$是與xi對(duì)應(yīng)的回歸估計(jì)值．
參考值：$\sqrt{15}$≈3.9．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

10．高考數(shù)學(xué)試題中共有10道選擇題，每道選擇題都有4個(gè)選項(xiàng)，其中有且僅有一個(gè)是正確的．評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：“每題只選1項(xiàng)，答對(duì)得5分，不答或答錯(cuò)得0分．”某考生每道題都給出了一個(gè)答案，已確定有6道題的答案是正確的，而其余題中，有兩道題都可判斷出兩個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的，有一道題可以判斷一個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的，還有一道題因不理解題意只能亂猜，試求出該考生：
（Ⅰ）得50分的概率；
（Ⅱ）得多少分的可能性最大；
（Ⅲ）所得分?jǐn)?shù)ξ的數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

17．設(shè)函數(shù)f（x）=ex-ax，x∈R．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求曲線f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；
（2）在（1）的條件下，求證：f（x）＞0；
（3）求證：lnx＜x；
（4）a＞1時(shí)，求函數(shù)f（x）在[0，a]上的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

7．若復(fù)數(shù)z滿足（1+i）z=2-i，則在復(fù)平面內(nèi)，z的共軛復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部的積為（　�。�
A．$\frac{3}{4}$B．$-\frac{3}{4}$C．$\frac{3}{4}i$D．$-\frac{3}{4}i$

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14．某算法的程序框圖如圖所示．如果從集合{x|-5≤x≤5，x∈Z}中任取一個(gè)數(shù)作為x值輸入，則輸出的y值大于或等于3的概率為（　�。�
A．$\frac{3}{10}$B．$\frac{3}{11}$C．$\frac{7}{10}$D．$\frac{7}{11}$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

4．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-alnx-\frac{1}{3}（a∈R，a≠0）$．
（1）當(dāng)a=3時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值．
（3）若對(duì)任意的x∈[1，+∞），都有f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

5．設(shè)l，m是不同的直線，α、β是不同的平面，且l?α，m?β（　　）
A．若l⊥β，則 α⊥βB．若α⊥β，則l⊥mC．若l∥β，則α∥βD．若α∥β，則l∥m

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