Question

11．已知變量x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+4≥0}\\{x≤2}\\{x+y-2≥0}\end{array}\right.$，則$\frac{x+y+3}{x+2}$的最大值為$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，化簡(jiǎn)目標(biāo)函數(shù)，利用它的幾何意義，即可求最大值．

解答 解：作出不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+4≥0}\\{x≤2}\\{x+y-2≥0}\end{array}\right.$對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域：$\frac{x+y+3}{x+2}$=1+$\frac{y+1}{x+2}$的幾何意義為區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到P（-2，-1）的斜率加上1．，
由圖象知，PB的斜率最大
由$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+4=0}\\{x+y-2=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=2}\end{array}\right.$，即B（0，2），
故PB的斜率k=$\frac{2+1}{0+2}$=$\frac{3}{2}$．
則$\frac{x+y+3}{x+2}$的最大值為：$\frac{5}{2}$．
故答案為：$\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃和直線斜率的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類(lèi)問(wèn)題的基本方法．