Question

15．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=3ⁿ×a⁴_n，a₁=1，求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 對遞推公式兩邊取以3為底的對數(shù)，即可化簡得出log₃a_n+$\frac{n}{3}$+$\frac{1}{9}$是公比為4的等比數(shù)列，繼而得出{a_n}的通項公式．

解答 解：∵a_n+1=3ⁿ×a_n⁴．
∴l(xiāng)og₃a_n+1=n+4log₃a_n．
∴l(xiāng)og₃a_n+1+$\frac{n+1}{3}$+$\frac{1}{9}$=4（log₃a_n+$\frac{n}{3}$+$\frac{1}{9}$）．
∴l(xiāng)og₃a_n+$\frac{n}{3}$+$\frac{1}{9}$是以log₃1+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{9}$=$\frac{4}{9}$為首項，以4為公比的等比數(shù)列．
∴l(xiāng)og₃a_n+$\frac{n}{3}$+$\frac{1}{9}$=$\frac{4}{9}$×4^n-1=$\frac{{4}^{n}}{9}$．
∴a_n=3${\;}^{\frac{{4}^{n}}{9}-\frac{n}{3}-\frac{1}{9}}$=3${\;}^{\frac{{4}^{n}-3n-1}{9}}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項，等比關(guān)系的確定，注意解題方法的積累，屬于中檔題．