Question

13．給出下面六個(gè)命題，不正確的是：②③④
①若向量$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$滿足|$\overrightarrow a$|=2|$\overrightarrow b$|=4，且$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為120°，則$\overrightarrow b$在$\overrightarrow a$上的投影等于-1；
②若B=60°，a=10，b=7，則該三角形有且只有兩解
③常數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列；
④若向量$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$共線，則存在唯一實(shí)數(shù)λ，使得$\overrightarrow a$=λ$\overrightarrow b$成立；
⑤在正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}中，若a₅a₆=9，則log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a₁₀=10；
⑥若△ABC為銳角三角形，且三邊長(zhǎng)分別為2，3，x．則x的取值范圍是$\sqrt{5}$＜x＜$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 ①根據(jù)向量投影的定義，求出$\overrightarrow b$在$\overrightarrow a$上的投影即可；
②由a＞b得出A＞B，得出三角形有且只有一解；
③只有非零常數(shù)列滿足題意；
④根據(jù)共線定理，即可得出原命題錯(cuò)誤；
⑤根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)即可計(jì)算結(jié)果；
⑥討論x為最大邊長(zhǎng)和x不是最大邊長(zhǎng)時(shí)，求出x的取值范圍即可．

解答 解：對(duì)于①，∵|$\overrightarrow a$|=2|$\overrightarrow b$|=4，且$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為120°，
∴$\overrightarrow b$在$\overrightarrow a$上的投影等于|$\overrightarrow$|cos120°=2×（-$\frac{1}{2}$）=-1，命題正確；
對(duì)于②，∵B=60°，a=10，b=7，∴a＞b得出A＞B，
∴該三角形有且只有一解，故原命題錯(cuò)誤；
對(duì)于③，非零常數(shù)列既是等差數(shù)列（公差為0），
又是等比數(shù)列（公比為1），故原命題錯(cuò)誤；
對(duì)于④，若向量$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$（$\overrightarrow$≠$\overrightarrow{0}$）共線，則存在唯一實(shí)數(shù)λ，使得$\overrightarrow a$=λ$\overrightarrow b$成立，
故原命題錯(cuò)誤；
對(duì)于⑤，在正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}中，若a₅a₆=9，則
log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a₁₀=log₃（a₁a₂…a₁₀）=log₃${{{（a}_{5}a}_{6}）}^{5}$=log₃9⁵=10log₃3=10，命題正確；
對(duì)于⑥，銳角△ABC中，當(dāng)x為最大邊長(zhǎng)時(shí)，由余弦定理得，2²+3²-x²＞0，解得3＜x＜$\sqrt{13}$；
當(dāng)x不是最大邊長(zhǎng)時(shí)，由余弦定理得，2²+x²-3²＞0，解得$\sqrt{5}$＜x≤3；
綜上，x的取值范圍是$\sqrt{5}$＜x＜$\sqrt{13}$，命題正確．
綜上，錯(cuò)誤的命題是②③④．
故答案為：②③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的概念與應(yīng)用問題，也考查了命題真假的判斷問題，是綜合性題目．