Question

11．在△ABC中，A=$\frac{π}{3}$，|$\overrightarrow{AC}$|=m，m∈[1，2]，若對于任意實數(shù)t恒有|$\overrightarrow{AB}$-t$\overrightarrow{AC}$|≥|$\overrightarrow{BC}$|，則△ABC面積的最大值是（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 對于任意實數(shù)t恒有|$\overrightarrow{AB}$-t$\overrightarrow{AC}$|≥|$\overrightarrow{BC}$|，故點B到直線AC的最短距離為BC，BC⊥AC，然后，求解即可．

解答 解：對于任意實數(shù)t恒有|$\overrightarrow{AB}$-t$\overrightarrow{AC}$|≥|$\overrightarrow{BC}$|，故點B到直線AC的最短距離為BC，
∴BC⊥AC，
∴c=90°，
∵A=$\frac{π}{3}$，|$\overrightarrow{AC}$|=m，
∴|$\overrightarrow{BC}$|=$\sqrt{3}$m，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$m×$\sqrt{3}$m=$\frac{\sqrt{3}}{2}$m²，
∵m∈[1，2]，
∴△ABC面積的最大值是$\frac{\sqrt{3}}{2}$×2²=2$\sqrt{3}$，
故選：D．

點評 本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義，兩個向量垂直的性質(zhì)，屬于中檔題