11.在△ABC中,A=$\frac{π}{3}$,|$\overrightarrow{AC}$|=m,m∈[1,2],若對于任意實(shí)數(shù)t恒有|$\overrightarrow{AB}$-t$\overrightarrow{AC}$|≥|$\overrightarrow{BC}$|,則△ABC面積的最大值是(  )
A.1B.$\sqrt{3}$C.2D.2$\sqrt{3}$

分析 對于任意實(shí)數(shù)t恒有|$\overrightarrow{AB}$-t$\overrightarrow{AC}$|≥|$\overrightarrow{BC}$|,故點(diǎn)B到直線AC的最短距離為BC,BC⊥AC,然后,求解即可.

解答 解:對于任意實(shí)數(shù)t恒有|$\overrightarrow{AB}$-t$\overrightarrow{AC}$|≥|$\overrightarrow{BC}$|,故點(diǎn)B到直線AC的最短距離為BC,
∴BC⊥AC,
∴c=90°,
∵A=$\frac{π}{3}$,|$\overrightarrow{AC}$|=m,
∴|$\overrightarrow{BC}$|=$\sqrt{3}$m,
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$m×$\sqrt{3}$m=$\frac{\sqrt{3}}{2}$m2
∵m∈[1,2],
∴△ABC面積的最大值是$\frac{\sqrt{3}}{2}$×22=2$\sqrt{3}$,
故選:D.

點(diǎn)評 本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義,兩個(gè)向量垂直的性質(zhì),屬于中檔題

練習(xí)冊系列答案
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