Question

20．若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{3x-y≥0}\\{x+y-4≤0}\\{2y≥{x}^{2}}\end{array}\right.$，則4^y-x的取值范圍是（　�。�

• A． [-$\frac{1}{2}$，16]
• B． [$\frac{1}{2}$，16]
• C． [$\frac{1}{2}$，4]
• D． [1，16]

Answer 1

分析 令z=y-x，作平面區(qū)域，從而結(jié)合圖象知，要分類討論求z的最值，從而結(jié)合圖象求取值范圍即可．

解答 解：令z=y-x，由題意作平面區(qū)域如下，
，
當(dāng)直線y=x+z與y=$\frac{{x}^{2}}{2}$相切時(shí)，z有最小值，
而y′=x=1得，切點(diǎn)為（1，$\frac{1}{2}$）；
故z的最小值為$\frac{1}{2}$-1=-$\frac{1}{2}$；
當(dāng)直線y=x+z過(guò)點(diǎn)A（1，3）時(shí)，z有最大值3-1=2；
故-$\frac{1}{2}$≤y-x≤2，
故$\frac{1}{2}$≤4^y-x≤16，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線性規(guī)劃的變形應(yīng)用及導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用，屬于中檔題．