【題目】對(duì)于無窮數(shù)列{an},記T={x|x=aj﹣ai,i<j},若數(shù)列{an}滿足:“存在t∈T,使得只要am﹣ak=t(m,k∈N*,m>k),必有am+1﹣ak+1=t”,則稱數(shù)列具有性質(zhì)P(t).
(1)若數(shù)列{an}滿足 ,判斷數(shù)列{an}是否具有性質(zhì)P(2)?是否具有性質(zhì)P(4)?說明理由;
(2)求證:“T是有限集”是“數(shù)列{an}具有性質(zhì)P(0)”的必要不充分條件;
(3)已知{bn}是各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列,且{bn}既具有性質(zhì)P(2),又具有性質(zhì)P(5),求證:存在正整數(shù)N,使得aN,aN+1,aN+2,…,aN+K,…是等差數(shù)列.
【答案】(1)見解析; (2)見解析; (3)見解析.
【解析】
(1)由,可得a2﹣a1=2,但a3﹣a2=﹣1≠2,數(shù)列{an}不具有性質(zhì)P(2);同理可判斷數(shù)列{an}具有性質(zhì)P(4);
(2)舉例“周期數(shù)列1,1,2,2,1,1,2,2,…,T={﹣1,0,1}是有限集,利用新定義可證數(shù)列{an}不具有性質(zhì)P(0),即不充分性成立;再證明其必要性即可;
(3)依題意,數(shù)列{bn}是各項(xiàng)為正整數(shù)的數(shù)列,且{bn}既具有性質(zhì)P(2),又具有性質(zhì)P(5),可證得存在整數(shù)N,使得bN,bN+1,bN+2,…,bN+k,…是等差數(shù)列.
(1)∵,
a2﹣a1=2,但a3﹣a2=﹣1≠2,數(shù)列{an}不具有性質(zhì)P(2);
同理可得,數(shù)列{an}具有性質(zhì)P(4).
(2)證明:(不充分性)對(duì)于周期數(shù)列1,1,2,2,1,1,2,2,…,
T={﹣1,0,1}是有限集,但是由于a2﹣a1=0,a3﹣a2=1,
所以不具有性質(zhì)P(0);
(必要性)因?yàn)閿?shù)列{an}具有性質(zhì)P(0),
所以一定存在一組最小的且m>k,滿足am﹣ak=0,即am=ak
由性質(zhì)P(0)的含義可得am+1=ak+1,am+2=ak+2,…,a2m﹣k﹣1=am﹣1,a2m﹣k=am,…
所以數(shù)列{an}中,從第k項(xiàng)開始的各項(xiàng)呈現(xiàn)周期性規(guī)律:ak,ak+1,…,am﹣1為一個(gè)周期中的各項(xiàng),
所以數(shù)列{an}中最多有m﹣1個(gè)不同的項(xiàng),
所以T最多有個(gè)元素,即T是有限集;
(3)證明:因?yàn)閿?shù)列{bn}具有性質(zhì)P(2),數(shù)列{bn}具有性質(zhì)P(5),
所以存在M′、N′,使得bM'+p﹣bM'=2,bN'+q﹣bN'=5,
其中p,q分別是滿足上述關(guān)系式的最小的正整數(shù),
由性質(zhì)P(2),P(5)的含義可得,bM'+p+k﹣bM'+k=2,bN'+q+k﹣bN'+k=5,
若M'<N',則取k=N'﹣M',可得bN'+p﹣bN'=2;
若M'>N',則取k=M'﹣N',可得bM'+q﹣bM'=5.
記M=max{M',N'},則對(duì)于bM,有bM+p﹣bM=2,bM+q﹣bM=5,顯然p≠q,
由性質(zhì)P(2),P(5)的含義可得,bM+p+k﹣bM+k=2,bN+q+k﹣bN+k=5,
所以bM+qp﹣bM=(bM+qp﹣bM+(q﹣1)p)+(bM+(q﹣1)p﹣bM+(q﹣2)p)
+…+(bM+p﹣bM)=2qbM+qp﹣bM=(bM+pq﹣bM+(p﹣1)q)+
(bM+(p﹣1)q﹣bM+(p﹣2)q)+…+(bM+q﹣bM)=5p
所以bM+qp=bM+2q=bM+5p.
所以2q=5p,
又p,q是滿足bM+p﹣bM=2,bM+q﹣bM=5的最小的正整數(shù),
所以q=5,p=2,bM+2﹣bM=2,bM+5﹣bM=5,
所以,bM+2+k﹣bM+k=2,bM+5+k﹣bM+k=5,
所以,bM+2k=bM+2(k﹣1)+2=…=bM+2k,bM+5k=bM+5(k﹣1)+5=…=bM+5k,
取N=M+5,
若k是偶數(shù),則bN+k=bN+k;
若k是奇數(shù),則bN+k=bN+5+(k﹣5)=bN+5+(k﹣5)=bN+5+(k﹣5)=bN+k,
所以,bN+k=bN+k,
所以bN,bN+1,bN+2,…,bN+k,…是公差為1的等差數(shù)列
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本題滿分14分)
已知橢圓C:過點(diǎn),且長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于4.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn),⊙O是以F1F2為直徑的圓,直線l: y=kx+m與⊙O相切,并與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B,若,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】橢圓C:(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為,離心率為,過焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長(zhǎng)為1.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)已知點(diǎn)M(0,-1),直線l經(jīng)過點(diǎn)N(2,1)且與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn)(異于點(diǎn)M),記直線MA的斜率為,直線MB的斜率為,證明 為定值,并求出該定值.
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【題目】在中,,,,點(diǎn)在邊上,點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)分別為,則的面積的最大值為
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為直角梯形,BC∥AD,AB⊥BC,∠ADC=45°,PA⊥平面ABCD,AB=AP=1,AD=3.
(1)求異面直線PB與CD所成角的大;
(2)求點(diǎn)D到平面PBC的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】橢圓上一點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為B,F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn),AF⊥BF,∠ABF=,,,則橢圓的離心率的取值范圍為_______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),,.
(1)當(dāng),時(shí),求函數(shù)的最小值;
(2)當(dāng),時(shí),求證方程在區(qū)間上有唯一實(shí)數(shù)根;
(3)當(dāng)時(shí),設(shè)是函數(shù)兩個(gè)不同的極值點(diǎn),證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求在區(qū)間上的最值;
(2)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(3)當(dāng)時(shí),有恒成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)在冪函數(shù)的圖像上.
(1)求的表達(dá)式;
(2)設(shè),求函數(shù)的零點(diǎn),推出函數(shù)的另外一個(gè)性質(zhì)(只要求寫出結(jié)果,不要求證明),并畫出函數(shù)的簡(jiǎn)圖.
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