Question

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）當時，求函數(shù) 的單調區(qū)間；

（Ⅱ）當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

（Ⅲ）求證： （， 是自然對數(shù)的底數(shù)）.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為;（Ⅱ）; （Ⅲ）見解析.

【解析】分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，分別解不等式、，可求得的增區(qū)間和減區(qū)間.

（Ⅱ）構建新函數(shù)， 不等式在上恒成立等價于在恒成立，而，分三種情形討論可得實數(shù)的取值范圍為.

（Ⅲ）由（Ⅱ）得不等式， ，故有，利用累加及其裂項相消法可以得到： ，化簡后可得到要證明的不等式.

詳解：（Ⅰ）當時， ，

.

由解得，由解得，

故函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為

（Ⅱ）因當時，不等式恒成立，即恒成立.

設，只需即可.

由,

（ⅰ）當時， ，

當時， ，函數(shù)在上單調遞減，

故成立；

（ⅱ）當時，由，因，所以，

①若，即時，在區(qū)間上， ，則函數(shù)在上單調遞增， 在上無最大值；

②若，即時，函數(shù)在上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，同樣在上無最大值，不滿足條件；

（ⅲ）當時，由，∵，∴，

∴，故函數(shù)在上單調遞減，故成立.

綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.

（Ⅲ）據(jù)（Ⅱ）知當時， 在上恒成立，又，

∵

，

∴.