Question

20．已知函數(shù)f（x）=ax²+bx和g（x）=lnx．
（Ⅰ） 若a=b=1，求證：f（x）的圖象在g（x）圖象的上方；
（Ⅱ） 若f（x）和g（x）的圖象有公共點(diǎn)P，且在點(diǎn)P處的切線相同，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令h（x）=f（x）-g（x）=x²+x-lnx，求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得極小值，且為最小值，判斷最小值大于0，即可得證；
（Ⅱ）設(shè)P的坐標(biāo)為（m，n），分別求出f（x），g（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，即有2am+b=$\frac{1}{m}$，且n=am²+bm=lnm，消去b，可得a=$\frac{1-lnm}{{m}^{2}}$（m＞0），令u（m）=$\frac{1-lnm}{{m}^{2}}$（m＞0），求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，即可得到所求范圍．

解答 解：（Ⅰ）證明：若a=b=1，即有f（x）=x²+x，
令h（x）=f（x）-g（x）=x²+x-lnx，h′（x）=2x+1-$\frac{1}{x}$=$\frac{2{x}^{2}+x-1}{x}$
=$\frac{（2x-1）（x+1）}{x}$，x＞0，
當(dāng)x＞$\frac{1}{2}$時(shí)，h′（x）＞0，h（x）遞增；當(dāng)0＜x＜$\frac{1}{2}$時(shí)，h′（x）＜0，h（x）遞減．
可得h（x）在x=$\frac{1}{2}$處取得極小值，且為最小值，且h（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$-ln$\frac{1}{2}$＞0，
即有h（x）＞0恒成立，則f（x）的圖象在g（x）圖象的上方；
（Ⅱ）設(shè)P的坐標(biāo)為（m，n），
f（x）=ax²+bx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2ax+b，
g（x）=lnx的導(dǎo)數(shù)為g′（x）=$\frac{1}{x}$，
可得2am+b=$\frac{1}{m}$，且n=am²+bm=lnm，
消去b，可得am²+1-2am²=lnm，
可得a=$\frac{1-lnm}{{m}^{2}}$（m＞0），
令u（m）=$\frac{1-lnm}{{m}^{2}}$（m＞0），
則u′（m）=$\frac{-3+2lnm}{{m}^{3}}$，
當(dāng)m＞e${\;}^{\frac{3}{2}}$時(shí)，u′（m）＞0，u（m）遞增；當(dāng)0＜m＜e${\;}^{\frac{3}{2}}$時(shí)，u′（m）＜0，u（m）遞減．
可得u（m）在m=e${\;}^{\frac{3}{2}}$處取得極小值，且為最小值，且u（e${\;}^{\frac{3}{2}}$）=$\frac{1-\frac{3}{2}}{{e}^{3}}$=-$\frac{1}{2{e}^{3}}$，
則a≥-$\frac{1}{2{e}^{3}}$，
故a的取值范圍是[-$\frac{1}{2{e}^{3}}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查轉(zhuǎn)化思想和構(gòu)造函數(shù)法，分離參數(shù)法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．