7.已知函數(shù)f(x)=|2x+1|,g(x)=|3x-a|(a∈R).
(Ⅰ)當(dāng)a=2時(shí),解不等式:f(x)+g(x)>x+6;
(Ⅱ)若關(guān)于x的不等式3f(x)+2g(x)≥6在R上恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析 (I)把要解的不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的三個(gè)不等式組,求出每個(gè)不等式組的解集,再取并集,即得所求.
(II)由條件利用絕對(duì)值三角不等式求得3f(x)+2g(x)的最小值為|2a+3|,可得|2a+3|≥6,由此求得a的范圍.

解答 解:(I)當(dāng)a=2時(shí),不等式:f(x)+g(x)>x+6,即|2x+1|+|3x-2|>x+6,
∴$\left\{\begin{array}{l}{x<-\frac{1}{2}}\\{-2x-1+2-3x>x+6}\end{array}\right.$①,或 $\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}≤x≤\frac{2}{3}}\\{2x+1+2-3x>x+6}\end{array}\right.$②,或$\left\{\begin{array}{l}{x>\frac{2}{3}}\\{2x+1+3x-2>x+6}\end{array}\right.$③.
解①求得x<-$\frac{1}{2}$,解②求得-$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{2}{3}$,解③求得x>$\frac{7}{4}$.
綜上可得,不等式的解集為 {x|x≤$\frac{2}{3}$,或x>$\frac{7}{4}$}.
(II)3f(x)+2g(x)=|6x+3|+|6x-2a|≥|6x+3-(6x-2a)|=|2a+3|,
若關(guān)于x的不等式3f(x)+2g(x)≥6在R上恒成立,則|2a+3|≥6,求得a>$\frac{3}{2}$或 a<-$\frac{9}{2}$.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值三角不等式,絕對(duì)值不等式的解法,函數(shù)的恒成立問(wèn)題,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.

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