Question

若對?x₁∈（0，2]，?x₂∈[1，2]，使4x₁lnx₁-x₁²+3+4x₁x₂²+8ax₁x₂-16x₁≥0成立，則a的取值范圍是（　�。�

• A、[-

  1

  8

  ，+∞）
• B、[

  25-8ln2

  16

  ，+∞）
• C、[-

  1

  8

  ，

  5

  4

  ]
• D、[-∞，

  5

  4

  ]

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用

專題：導數的綜合應用

分析：由x₁＞0，4x₁lnx₁-x₁²+3+4x₁x₂²+8ax₁x₂-16x₁≥0化為8ax2+4

x

2 2

≥x1-4lnx1+16-

3

x1

，令f（x）=x-4lnx+16-

3

x

，x∈（0，2]，利用導數可得其最大值．令g（x）=8ax+4x²，x∈[1，2]，則對?x₁∈（0，2]，?x₂∈[1，2]，使4x₁lnx₁-x₁²+3+4x₁x₂²+8ax₁x₂-16x₁≥0成立?g（x）_max≥f（x）_max．再利用導數可得g（x）的最大值，即可得出．

解答： 解：∵x₁＞0，∴4x₁lnx₁-x₁²+3+4x₁x₂²+8ax₁x₂-16x₁≥0化為8ax2+4

x

2 2

≥x1-4lnx1+16-

3

x1

，
令f（x）=x-4lnx+16-

3

x

，x∈（0，2]，
f′（x）=1-

4

x

+

3

x2

=

(x-1)(x-3)

x2

，
當0＜x＜1時，f′（x）＞0，函數f（x）單調遞增；當1＜x＜2時，f′（x）＜0，函數f（x）單調遞減．
∴當x=1時，函數f（x）取得最大值，f（1）=14．
令g（x）=8ax+4x²，x∈[1，2]，
∵對?x₁∈（0，2]，?x₂∈[1，2]，使4x₁lnx₁-x₁²+3+4x₁x₂²+8ax₁x₂-16x₁≥0成立，
∴g（x）_max≥f（x）_max．
g′（x）=8a+8x=8（x+a），
①當a≥-1時，g′（x）≥0，函數g（x）單調遞增，∴當x=2時，g（x）取得最大值，g（x）=16a+16．由16a+16≥14，解得a≥-

1

8

，滿足條件．
②當-2＜a＜-1時，g′（x）=8[x-（-a）]，可得當x=-a時，g（x）取得最小值，g（2）=16+16a≤0，g（1）=4+8a≤0，舍去．
③當a≤-2時，經過驗證，也不符合條件，舍去．
綜上可得：a的取值范圍是[-

1

8

，+∞)．
故選：A．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性極值最值，考查了恒成立問題的等價轉化方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．