Question

定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)y=f（x）的圖象是連續(xù)不斷的，若對任意實(shí)數(shù)x，存在實(shí)常數(shù)t使得f（t+x）=-tf（x）恒成立，則稱f（x）是一個“關(guān)于t函數(shù)”．有下列“關(guān)于t函數(shù)”的結(jié)論：
①f（x）=0是常數(shù)函數(shù)中唯一一個“關(guān)于t函數(shù)”；
②“關(guān)于

1

2

函數(shù)”至少有一個零點(diǎn)；
③f（x）=x²是一個“關(guān)于t函數(shù)”．
其中正確結(jié)論的個數(shù)是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、0

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：舉例說明①不正確；由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理結(jié)合新定義說明②正確；把f（x）=x2代入定義求得λ的矛盾的值說明③錯誤．

解答：解：由題意得，①不正確，如f（x）=c≠0，取t=-1，則f（x-1）-f（x）=c-c=0，即f（x）=c≠0是一個“t函數(shù)”；
②正確，若f（x）是“是關(guān)于

1

2

函數(shù)”，則f(x+

1

2

)+

1

2

f（x）=0，取x=0，則f(

1

2

)+

1

2

f（0）=0，
若f（0）、f (

1

2

)任意一個為0，則函數(shù)f（x）有零點(diǎn)；若f（0）、f (

1

2

)均不為0，則f（0）、f (

1

2

)異號，
由零點(diǎn)存在性定理知，在(0，

1

2

)區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)；
若f（x）=x2是一個“關(guān)于t函數(shù)”，則（x+λ）2+λx2=0，求得λ=0且λ=-1，矛盾．③不正確，
∴正確結(jié)論的個數(shù)是1．
故選：A．

點(diǎn)評：本題是新定義題，考查了函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是對題意的理解，是中檔題．