Question

16．已知函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最小正周期為$\frac{2π}{3}$，最小值為-2，圖象過（$\frac{5π}{9}$，0），求該函數(shù)的解析式并求其單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 根據(jù)已知，求出函數(shù)的各個(gè)參數(shù)值，進(jìn)而可得函數(shù)的解析式，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：∵函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最小正周期為$\frac{2π}{3}$，最小值為-2，
∴ω=3，A=2，
∴函數(shù)y=2sin（3x+φ）（|φ|＜$\frac{π}{2}$）的圖象過（$\frac{5π}{9}$，0），
∴sin（$\frac{5π}{3}$+φ）=0，φ=$\frac{π}{3}$+kπ，k∈Z，
∴φ=$\frac{π}{3}$，
故y=2sin（3x+$\frac{π}{3}$），
由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤3x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z得：
x∈[-$\frac{5π}{18}$+$\frac{2}{3}kπ$，$\frac{π}{18}$+$\frac{2}{3}kπ$]，k∈Z
由$\frac{π}{2}$+2kπ≤3x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z得：
x∈[$\frac{π}{18}$+$\frac{2}{3}kπ$，$\frac{7π}{18}$+$\frac{2}{3}kπ$]，k∈Z
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：[-$\frac{5π}{18}$+$\frac{2}{3}kπ$，$\frac{π}{18}$+$\frac{2}{3}kπ$]，k∈Z
單調(diào)遞減區(qū)間為：[$\frac{π}{18}$+$\frac{2}{3}kπ$，$\frac{7π}{18}$+$\frac{2}{3}kπ$]，k∈Z

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)已知，求出函數(shù)的解析式，是解答的關(guān)鍵．