Question

10．2016年里約奧運(yùn)會和殘奧會吉祥物的名字于2015年12月14日揭曉，兩個(gè)吉祥物分別叫維尼修斯（Vinicius）和湯姆（Tom）（如圖），以此紀(jì)念巴薩諾瓦曲風(fēng)的著名音樂家Viniciusde Moraes和Tom Jobim．某商場在抽獎(jiǎng)箱中放置了除圖案外，其它無差別的8張卡片，其中2張印有“維尼修斯（Vinicius）”圖案，n（2≤n≤4）張印有“湯姆（Tom）”圖案，其余卡片上印有“2016年里約奧運(yùn)會”的圖案，
（1）若n=4，從抽獎(jiǎng)箱中任意取一卡片，記下圖案后放回，連續(xù)抽取三次，求三次取出的卡片中，恰有兩張印有“2016年里約奧運(yùn)會”圖片卡片的概率；
（2）從抽獎(jiǎng)箱中任意抽取兩張卡片，兩張卡片圖案相同的概率是$\frac{2}{7}$．求n的值；
（3）①當(dāng)n=3時(shí)，隨機(jī)抽取一次，若規(guī)定取出印有“維尼修斯（Vinicius）”圖案的卡片獲得16元購物券，取出印有“湯姆（Tom）”圖案的卡片獲得8元購物券，取出印有“2016年里約奧運(yùn)會”的圖案的卡片沒有獎(jiǎng)勵(lì)，用ξ表示獲得獎(jiǎng)券的面值，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E（ξ）．
②在①的條件下，若商場每天有800人參與抽獎(jiǎng)活動，顧客獲得的購物券全部用于捆綁其他商品消費(fèi)，每1元購物券能給商場帶來10元純利潤，則商場每天在這個(gè)活動中能獲得的純利潤是多少？

Answer 1

分析 （1）若n=4，根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式求概率；
（2）由題意知$\frac{{∁}_{2}^{2}+{∁}_{n}^{2}+{∁}_{6-n}^{2}}{{∁}_{8}^{2}}$=$\frac{2}{7}$，從而求得．
（3）①若n=3，則印有“維尼修斯（Vinicius）”圖案的卡片有2張，印有“湯姆（Tom）”圖案的卡片有3張，印有“2016年里約奧運(yùn)會”的圖案的卡片有3張；從而寫出分布列及數(shù)學(xué)期望；
②在①的條件下，商場每天在這個(gè)活動中能獲得的純利潤是800×7×10=56000元．

解答 解：（1）若n=4，則恰有兩張印有“2016年里約奧運(yùn)會”圖片卡片的概率
p=${∁}_{3}^{2}$•$\frac{2}{8}$•$\frac{2}{8}$•$\frac{6}{8}$=$\frac{9}{64}$；
（2）由題意知，
$\frac{{∁}_{2}^{2}+{∁}_{n}^{2}+{∁}_{6-n}^{2}}{{∁}_{8}^{2}}$=$\frac{2}{7}$，
解得，n=2或n=4；
（3）①若n=3，則印有“維尼修斯（Vinicius）”圖案的卡片有2張，印有“湯姆（Tom）”圖案的卡片有3張，印有“2016年里約奧運(yùn)會”的圖案的卡片有3張；
由題意知，

ξ	0	8	16
p	$\frac{3}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{4}$

E（ξ）=0×$\frac{3}{8}$+8×$\frac{3}{8}$+16×$\frac{1}{4}$=7；
②在①的條件下，商場每天在這個(gè)活動中能獲得的純利潤是800×7×10=56000元．

點(diǎn)評 本題考查了概率在實(shí)際問題中的應(yīng)用及超幾何分布的應(yīng)用，考查了分類討論的思想應(yīng)用．