Question

3．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=2，對(duì)任意正整數(shù)m，n，都有S_m+n=S_mS_n，則{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2，n=1}\\{{2}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 a₁=2，對(duì)任意正整數(shù)m，n，都有S_m+n=S_mS_n，取m=1，可得S_n+1=2S_n，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得S_n，再利用遞推關(guān)系即可得出．

解答 解：a₁=2，對(duì)任意正整數(shù)m，n，都有S_m+n=S_mS_n，
取m=1，則：S_n+1=2S_n，
∴數(shù)列{S_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為2，
∴S_n=2ⁿ．
n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ-2^n-1=2^n-1．
則{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2，n=1}\\{{2}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$．
故答案為：$\left\{\begin{array}{l}{2，n=1}\\{{2}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．