Question

15．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=$\frac{1}{2}$，且[3+（-1）ⁿ]a_n+2-2a_n+2[（-1）ⁿ-1]=0，求a₃，a₄，a₅，a₆的值及數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 由已知分別在數(shù)列遞推式中取n=1，2，3，4求得a₃，a₄，a₅，a₆的值；然后分n為奇數(shù)和偶數(shù)可得{a_2m-1}為等差數(shù)列，{a_2m}為等比數(shù)列，再由等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答 解：∵a₁=1，a₂=$\frac{1}{2}$，且[3+（-1）ⁿ]a_n+2-2a_n+2[（-1）ⁿ-1]=0，
分別令n=1，2，3，4，
可求得：a₃=3，${a}_{4}=\frac{1}{4}$，a₅=5，${a}_{6}=\frac{1}{8}$；
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，不妨設(shè)n=2m-1，m∈N^*，則a_2m+1-a_2m-1=2，
∴{a_2m-1}為等差數(shù)列，∴a_2m-1=1+（m-1）•2=2m-1，即a_n=n；
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)n=2m，m∈N^*，則2a_2m+2-a_2m=0，
∴{a_2m}為等比數(shù)列，a_2m=$\frac{1}{2}$•$（\frac{1}{2}）^{m-1}$=$\frac{1}{{2}^{m}}$，故${a}_{n}=（\frac{1}{2}）^{\frac{n}{2}}$．
綜上所述，${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{n，n為奇數(shù)}\\{（\frac{1}{2}）^{\frac{n}{2}}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系與等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了等差數(shù)列和等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，是中檔題．