Question

10．已知函數f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$）（ω＞0）的圖象在y軸左側的第一個最高點為M，點M在x，y軸上的射影分別為M₁，M₂，O為坐標原點，四邊形OM₁MM₂的面積為$\frac{5π}{3}$．
（1）求ω的值；
（2）求函數f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{2}$，0]上的最值．

Answer 1

分析 （1）由題意，設M（x，y），則y=2，可得2x=$\frac{5π}{3}$，解得x=$\frac{5π}{6}$，可得：ω×$\frac{5π}{6}$+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即可解得ω的值．
（2）由（1）可得f（x）=2sin（$\frac{2}{5}$x+$\frac{π}{6}$），由x∈[-$\frac{π}{2}$，0]，可得：$\frac{2}{5}$x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{30}$，$\frac{π}{6}$]，利用正弦函數的圖象和性質即可解得函數f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{2}$，0]上的最值．

解答 解：（1）由題意，設M（x，y），則y=2，2x=$\frac{5π}{3}$，解得x=$\frac{5π}{6}$，
可得：ω×$\frac{5π}{6}$+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，解得ω=$\frac{2}{5}$．
（2）由（1）可得f（x）=2sin（$\frac{2}{5}$x+$\frac{π}{6}$），
∵x∈[-$\frac{π}{2}$，0]，可得：$\frac{2}{5}$x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{30}$，$\frac{π}{6}$]，
∴f（x）=2sin（$\frac{2}{5}$x+$\frac{π}{6}$）∈[-2sin$\frac{π}{30}$，1]．
故函數f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{2}$，0]上的最大值為1，最小值為-2sin$\frac{π}{30}$．

點評 本題考查由y=Asin（ωx+φ）的圖象與性質確定其解析式，考查正弦函數的圖象和性質，考查了數形結合思想的應用，屬于中檔題．