Question

如圖,經(jīng)過村莊A有兩條夾角為60°的公路AB,AC,根據(jù)規(guī)劃擬在兩條公路之間的區(qū)域內(nèi)建一工廠P,分別在兩條公路邊上建兩個(gè)倉庫M、N (異于村莊A),要求PM＝PN＝MN＝2(單位:千米).如何設(shè)計(jì), 可以使得工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最小(即工廠與村莊的距離最遠(yuǎn))．

 

 

Answer 1

設(shè)計(jì)∠AMN為60°時(shí),工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最小

【解析】設(shè)∠AMN＝θ，在△AMN中，．

因?yàn)镸N＝2,所以AM＝sin(120°－θ) ．在△APM中,cos∠AMP＝cos(60°＋θ).

AP2＝AM2＋MP2－2 AM·MP·cos∠AMP＝sin2(120°－θ)＋4－2×2×sin(120°θ) cos(60°＋θ)＝sin2(θ＋60°)－sin(θ＋60°) cos(θ＋60°)＋4

＝[1－cos (2θ＋120°)]－sin(2θ＋120°)＋4

＝[sin(2θ＋120°)＋cos (2θ＋120°)]＋

＝－sin(2θ＋150°),θ∈(0,120°)．

當(dāng)且僅當(dāng)2θ＋150°＝270°,即θ＝60°時(shí),AP2取得最大值12,即AP取得最大值.

答:設(shè)計(jì)∠AMN為60°時(shí),工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最小．