Question

20．設(shè)橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），過點Q（$\sqrt{2}$，1），右焦點F（$\sqrt{2}$，0），
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=k（x-1）（k＞0）分別交x軸，y軸于C，D兩點，且與橢圓C交于M，N兩點，若$\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{MD}$，求k值，并求出弦長|MN|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將Q的坐標(biāo)代入橢圓方程，以及a，b，c的關(guān)系，解方程可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（Ⅱ）求出直線l與x，y軸的交點，代入橢圓方程，運用韋達(dá)定理，以及向量共線的坐標(biāo)表示，可得k的值，運用弦長公式可得弦長|MN|．

解答 解：（Ⅰ）橢圓過點Q（$\sqrt{2}$，1），
可得$\frac{2}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$=1，由題意可得c=$\sqrt{2}$，即a²-b²=2，
解得a=2，b=$\sqrt{2}$，
即有橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（Ⅱ）直線l：y=k（x-1）與x軸交點C（1，0），y軸交點D（0，-k），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2{y}^{2}=4}\\{y=k（x-1）}\end{array}\right.$，消y得，（1+2k²）x²-4k²x+2k²-4=0，①
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
$\overrightarrow{CN}$=（x₂-1，y₂），$\overrightarrow{MD}$=（-x₁，-k-y₁），
由$\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{MD}$，得：x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=1，
解得k=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$．由k＞0得k=$\frac{\sqrt{2}}{2}$代入①
得2x²-2x-3=0，
x₁+x₂=1，x₁x₂=-$\frac{3}{2}$，
可得|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{\frac{3}{2}}$•$\sqrt{1+6}$=$\frac{\sqrt{42}}{2}$．

點評 本題考查橢圓方程的求法，注意運用點滿足橢圓方程，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達(dá)定理和向量相等的條件，同時考查弦長公式的運用，以及運算能力，屬于中檔題．