Question

12．若函數(shù)f（x）=2^|x+a|（a∈R）滿足f（1-x）=f（1+x），f（x）在區(qū)間[m，n]上的最大值記為f（x）_max，最小值記為f（x）_min，若f（x）_max-f（x）_min=3，則n-m的取值范圍是（0，4]．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)f（x）=2^|x+a|滿足f（1-x）=f（1+x）得出f（x）的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱，求出a的值，寫出f（x）的解析式，再討論m、n的取值范圍，求出f（x）在區(qū)間[m，n]上的最大值與最小值的差，從而求出n-m的取值范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=2^|x+a|（a∈R）滿足f（1-x）=f（1+x），
∴f（x）的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱，∴a=-1，
∴f（x）=2^|x-1|；
當(dāng)m＜n≤1或1≤m＜n時(shí)，離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，m、n差越小，極限值是0；
當(dāng)m＜1＜n時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[m，n]上的最大值與最小值的差為：
f（x）_max-f（x）_min=2^|±2|-2⁰=3，則n-m取得最大值是2-（-2）=4；
∴n-m的取值范圍是（0，4]．
故答案為：（0，4]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了分類討論思想的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．