Question

9．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+y²=1（a＞1），
（1）若A（0，1）到焦點的距離為$\sqrt{3}$，求橢圓的離心率．
（2）Rt△ABC以A（0，1）為直角頂點，邊AB、AC與橢圓交于兩點B、C．若△ABC面積的最大值為$\frac{27}{8}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）由A（0，1）到焦點的距離為$\sqrt{3}$，可得a=$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$，即可得出e=$\frac{c}{a}$．
（2）不妨設AB斜率k＞0，則AB：y=kx+1，AC：y=$-\frac{1}{k}x+1$．分別與橢圓方程聯(lián)立可得：${x_B}=-\frac{{2{a^2}k}}{{1+{a^2}{k^2}}}$，${x_C}=\frac{{2{a^2}k}}{{{k^2}+{a^2}}}$，|AB|=$\sqrt{{x}_{B}^{2}+（{y}_{B}-1）^{2}}$=$\frac{2{a}^{2}k\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+{a}^{2}{k}^{2}}$，|AC|=$\frac{2{a}^{2}\sqrt{1+{k}^{2}}}{{a}^{2}+{k}^{2}}$．S=$\frac{1}{2}$|AB||AC|=2a⁴×$\frac{k+\frac{1}{k}}{{a}^{2}（k+\frac{1}{k}）^{2}+（{a}^{2}-1）^{2}}$，令$k+\frac{1}{k}$=t≥2，通過換元利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）∵A（0，1）到焦點的距離為$\sqrt{3}$，∴a=$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=$\sqrt{2}$，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．
（2）不妨設AB斜率k＞0，則AB：y=kx+1，AC：y=$-\frac{1}{k}x+1$．
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{x^2}{a^2}+{y^2}=1}\end{array}}\right.$，得（1+a²k²）x²+2a²kx=0，
解得${x_B}=-\frac{{2{a^2}k}}{{1+{a^2}{k^2}}}$，同理${x_C}=\frac{{2{a^2}k}}{{{k^2}+{a^2}}}$，
|AB|=$\sqrt{{x}_{B}^{2}+（{y}_{B}-1）^{2}}$=$\frac{2{a}^{2}k\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+{a}^{2}{k}^{2}}$，同理可得：|AC|=$\frac{2{a}^{2}\sqrt{1+{k}^{2}}}{{a}^{2}+{k}^{2}}$．
S=$\frac{1}{2}$|AB||AC|=2a⁴×$\frac{k（1+{k}^{2}）}{{a}^{2}{k}^{4}+{a}^{4}{k}^{2}+{k}^{2}+{a}^{2}}$=2a⁴×$\frac{k+\frac{1}{k}}{{a}^{2}（k+\frac{1}{k}）^{2}+（{a}^{2}-1）^{2}}$，
令$k+\frac{1}{k}$=t≥2，
則S=2a⁴×$\frac{t}{{a}^{2}{t}^{2}+（{a}^{2}-1）^{2}}$=$\frac{2{a}^{4}}{{a}^{2}t+\frac{（{a}^{2}-1）^{2}}{t}}$≤$\frac{{a}^{3}}{{a}^{2}-1}$，當且僅當t=$\frac{{a}^{2}-1}{a}$≥2，即a$≥1+\sqrt{2}$時取等號．
由$\frac{{a}^{3}}{{a}^{2}-1}=\frac{27}{8}$，解得a=3，或a=$\frac{3+\sqrt{297}}{16}$（舍去）．
1＜a＜1+$\sqrt{2}$時無解．
∴a=3．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長問題、兩點之間的距離公式、基本不等式的性質(zhì)、換元方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．