Question

7．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁=1，延長(zhǎng)A₁C₁至點(diǎn)P，使C₁P=A₁C₁，連接AP交棱CC₁于點(diǎn)D．以A₁為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．
（1）寫出A₁、B、B₁、C、D、P的坐標(biāo)；
（2）求異面直線A₁B與PB₁所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由已知可得坐標(biāo)．
（2）利用向量夾角公式即可得出．

解答 解：（1）${A_1}（{0，0，0}），B（{1，0，1}），{B_1}（{1，0，0}），C（{0，1，1}），D（{0，1，\frac{1}{2}}），P（{0，2，0}）$．
（2）∵$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（1，0，1），$\overrightarrow{P{B}_{1}}$=（1，-2，0），
∴cos$＜\overrightarrow{{A}_{1}B}，\overrightarrow{P{B}_{1}}＞$=$\frac{\overrightarrow{{A}_{1}B}•\overrightarrow{P{B}_{1}}}{|\overrightarrow{{A}_{1}B}||\overrightarrow{P{B}_{1}}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}×\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴異面直線A₁B與PB₁所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間位置關(guān)系、向量夾角公式、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．