Question

2．已知中心在原點、焦點在x軸上的橢圓C上點到兩焦點的距離最大值和最小值的差為$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，且橢圓過（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），單位圓O的切線l與橢圓C相交于A，B兩點．
（1）求橢圓方程；
（2）求證：OA⊥OB．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：a+c-（a-c）=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，又a²=b²+c²，聯(lián)立解出即可得出．
（2）單位圓的方程為：x²+y²=1．對切線的斜率分類討論：設(shè)圓的切線斜率存在時方程為：y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．可得$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，即m²=1+k²．與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系即可證明．圓的切線斜率不存在時直接求出驗證即可得出．

解答 （1）解：∵中心在原點、焦點在x軸上的橢圓C上點到兩焦點的距離最大值和最小值的差為$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，且橢圓過（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
∴a+c-（a-c）=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，又a²=b²+c²，
聯(lián)立解得$c=\frac{2\sqrt{6}}{3}$，b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，a²=4．
∴橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{3{y}^{2}}{4}$=1．
（2）證明：單位圓的方程為：x²+y²=1．
設(shè)圓的切線斜率存在時方程為：y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
可得$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，即m²=1+k²．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，化為：（1+3k²）x²+6kmy+3m²-4=0，
△＞0，
∴x₁+x₂=$\frac{-6km}{1+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{3{m}^{2}-4}{1+3{k}^{2}}$．
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
=（1+k²）$\frac{3{m}^{2}-4}{1+3{k}^{2}}$-$\frac{6{k}^{2}{m}^{2}}{1+3{k}^{2}}$+m²
=$\frac{4（{m}^{2}-{k}^{2}-1）}{1+3{k}^{2}}$=0．
∴$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，
∴OA⊥OB．
當圓的切線斜率不存在時方程為：x=±1，
代入橢圓方程可得：1+3y²=4，解得y=±1，
∴A（1，1），B（1，-1）；A（-1，1），B（-1，-1）．
滿足OA⊥OB．
綜上可得：OA⊥OB．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、向量數(shù)量積運算性質(zhì)、圓的方程及其切線性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．