5.已知F1、F2為橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)的左、右焦點,過F2做橢圓的弦AB.
(Ⅰ) 求證:△F1AB的周長是常數(shù);
(Ⅱ) 若:△F1AB的周長為16,且|AF1|、|F1F2|、|AF2|成等差數(shù)列,求橢圓方程.

分析 (Ⅰ)由橢圓的定義知,|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a,即可得出△F1AB的周長是常數(shù).
(Ⅱ)由周長為16,得a=4; 又|AF1|、|F1F2|、|AF2|成等差數(shù)列,可得2|F1F2|=|AF1|+|AF2|,即4c=2a,解得c.再利用b2=a2-c2,即可得出.

解答 解:(Ⅰ)由橢圓的定義知,|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a,∴△F1AB的周長是常數(shù)4a.
(Ⅱ)由周長為16,得a=4; 又|AF1|、|F1F2|、|AF2|成等差數(shù)列,
∴2|F1F2|=|AF1|+|AF2|,
∴4c=2a,解得c=2.
b2=a2-c2=12.
∴橢圓的標準方程為:$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}$=1.

點評 本題考查了橢圓的定義標準方程及其性質(zhì),考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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①A=Z,B=N+,對應(yīng)關(guān)系是f:對集合A中的元素取絕對值與B中的元素相對應(yīng)
②A={三角形},B=R,對應(yīng)關(guān)系是f:對集合A中的三角形求面積與集合B中的元素對應(yīng)
③A=R+,B=R,對應(yīng)關(guān)系是f:對集合A中的元素取平方根與B中的元素對應(yīng).

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A.0B.1C.2D.3

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20.由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運算法則:
①由“mn=nm”類比得到“$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=$\overrightarrow b$•$\overrightarrow a$”;
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④由“|mn|=|m|•|n|”類比得到“|${\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$|=|${\overrightarrow a}$|•|${\overrightarrow b}$|”.以上結(jié)論正確的是( 。
A.①③B.①②C.②③D.②④

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10.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足下列三個條件:
(1)f(x-2)+f(-x)=0; 
(2)f(2-x)=f(x); 
(3)在(-1,1]上的表達式為f(x)=$\left\{\begin{array}{l}sin(\frac{π}{2}x)x∈(0,1]\\|lg(x+1)|x∈(-1,0]\end{array}$.
已知函數(shù)g(x)=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{-x},x∈[0,+∞)}\\{x+1,x∈(-∞,0)}\end{array}$,則方程f(x)=g(x)在區(qū)間[-5,3]內(nèi)共有3個解.

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17.已知f(x)在R上是奇函數(shù),且滿足f(x+5)=-f(x),當(dāng)x∈(0,5)時,f(x)=x2-5x,則f(2016)=(  )
A.4B.-4C.-2D.0

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14.觀察如表:
x-3-2-1123
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則f[g(3)-f(-1)]=( 。
A.3B.4C.-3D.5

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A.$\frac{1}{50}$B.$\frac{1}{20}$C.$\frac{20}{1003}$D.$\frac{50}{1003}$

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