Question

16．已知函數f（x）=$\frac{{{x^2}+2x+a}}{x}$，x∈[1，+∞）．
（1）當a=2時，判斷并證明f（x）的單調性；
（2）當a=2時，求函數f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，判斷函數的單調性即可；
（2）根據函數的單調性求出函數的最小值，從而求出函數的值域即可．

解答 解：（1）a=2時，f（x）=$\frac{{x}^{2}+2x+2}{x}$=x+$\frac{2}{x}$+2，
f′（x）=1-$\frac{2}{{x}^{2}}$=$\frac{（x+\sqrt{2}）（x-\sqrt{2}）}{x}$，（x≥1），
令f′（x）＞0，解得：x＞$\sqrt{2}$，令f′（x）＜0，解得：x＜$\sqrt{2}$，
∴f（x）在[1，$\sqrt{2}$）遞減，在[$\sqrt{2}$，+∞）遞增；
（2）由（1）得：f（x）_min=f（$\sqrt{2}$）=2+2$\sqrt{2}$，
∴f（x）在[1，+∞）的值域是[2+2$\sqrt{2}$，+∞）．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的意義，是一道基礎題．