Question

若直線2ax+by-2=0（a＞0，b＞0）被圓x²+y²-2x-4y-4=0截得的弦長(zhǎng)為6，m=b+

2

a

，n=a+

1

2b

，則m+n的最小值為．

• A、

  9

  2

• B、5
• C、

  11

  2

• D、6

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓相交的性質(zhì)

專題：直線與圓

分析：由圓的方程得到圓的半徑為3，再由弦長(zhǎng)為6得到直線過圓心，即得到a與b滿足的關(guān)系式，再利用基本不等式即可得到結(jié)論．

解答： 解：由于（x-1）²+（y-2）²=9，則圓心為（1，2），半徑為3，
又由直線2ax+by+2=0．（a＞0，b＞0）被圓（x-1）²+（y-2）²=9截得的弦長(zhǎng)為6，
則直線2ax+by+2=0（a＞0，b＞0）過圓心，即2a+2b+2=0，亦即b+a=1，a＞0，b＞0，
所以m+n=b+

2

a

+a+

1

2b

=1+

2(a+b)

a

+

a+b

2b

=

7

2

+

2b

a

+

a

2b

≥

7

2

+2=

11

2

，當(dāng)且僅當(dāng)

2b

a

=

a

2b

時(shí)取等號(hào)；
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與圓相交的性質(zhì)，基本不等式，其中根據(jù)已知條件，分析出圓心在已知直線上，進(jìn)而得到a，b的關(guān)系式，是解答本題的關(guān)鍵．