Question

3．若直線2ax-by+2=0（a，b∈R）始終平分圓（x+1）²+（y-2）²=4的周長，則ab 的最大值是$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 由題意可得直線2ax-by+2=0過圓心（-1，2），即a+b=1，再利用基本不等式求得ab的最大值．

解答 解：∵直線2ax-by+2=0始終平分圓（x+1）²+（y-2）²=4的周長，
∴直線2ax-by+2=0過圓心（-1，2），
∴-2a-2b+2=0，∴a+b=1．
∵求ab的最大值，∴a＞0，b＞0．
由基本不等式可得 1=a+b≥2$\sqrt{ab}$，∴ab≤$\frac{1}{4}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號成立，故ab的最大值等于$\frac{1}{4}$，
故答案為$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評 題主要考查基本不等式的應(yīng)用，直線和圓相交的性質(zhì)，屬于中檔題．