Question

1．設(shè)x，y滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-6≤0}\\{x-y+2≥0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，若z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為4，則$\frac{1}{a}+\frac{2}{3b}$的最小值為4..

Answer 1

分析 由題意作出其平面區(qū)域，從而由線性規(guī)劃可得a+$\frac{3}{2}$b=1；從而化簡(jiǎn)$\frac{1}{a}+\frac{2}{3b}$利用“1”的代換；從而利用基本不等式求解即可．

解答 解：由題意作出其平面區(qū)域，

由$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2=0}\\{3x-y-6=0}\end{array}\right.$解得，x=4，y=6；
又∵a＞0，b＞0；
故當(dāng)x=4，y=6時(shí)目標(biāo)函數(shù)z=ax+by取得最大值，
即4a+6b=4；
即a+$\frac{3}{2}$b=1；
故$\frac{1}{a}+\frac{2}{3b}$=（$\frac{1}{a}+\frac{2}{3b}$）（a+$\frac{3}{2}$b）
=1+1+$\frac{3b}{2a}$+$\frac{2a}{3b}$≥2+2×$\sqrt{\frac{3b}{2a}•\frac{2a}{3b}}$=4；
（當(dāng)且僅當(dāng)a=$\frac{1}{2}$，b=$\frac{1}{3}$時(shí)，等號(hào)成立）；
則$\frac{1}{a}+\frac{2}{3b}$的最小值為4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了簡(jiǎn)單線性規(guī)劃，作圖要細(xì)致認(rèn)真，同時(shí)考查了基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．