Question

16．已知過拋物線G：y²=2px（p＞0）焦點F的直線l與拋物線G交于M，N兩點（M點在x軸上方），滿足$\overrightarrow{MF}$=3$\overrightarrow{FN}$，|MN|=$\frac{16}{3}$，則以M為圓心且與拋物線準(zhǔn)線相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（　　）

• A． （x-$\frac{1}{3}$）²+（y-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）²=$\frac{16}{3}$
• B． （x-$\frac{1}{3}$）²+（y+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）²=$\frac{16}{3}$
• C． （x-3）²+（y-2$\sqrt{3}$）²=16
• D． （x-3）²+（y+2$\sqrt{3}$）²=16

Answer 1

分析 確定直線l的斜率為$\sqrt{3}$，可得方程為y=$\sqrt{3}$（x-$\frac{p}{2}$），與拋物線方程聯(lián)立可得3x²-5px+$\frac{3}{4}{p}^{2}$=0，利用|MN|=$\frac{16}{3}$，求出p，可得M的坐標(biāo)，即可求出以M為圓心且與拋物線準(zhǔn)線相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答 解：如圖，過點N作NE⊥MM′，由拋物線的定義，|MM′|=|MF|，|NN′|=|NF|．
∵$\overrightarrow{MF}$=3$\overrightarrow{FN}$，∴|MM′|=3|NN′|，
∴|ME|=2|NN′|，
∵|MN|=4|NN′|，
∴|MN|=2|ME|，
∴得∠EMF=$\frac{π}{3}$，所以直線l的斜率為$\sqrt{3}$
其方程為y=$\sqrt{3}$（x-$\frac{p}{2}$），
與拋物線方程聯(lián)立可得3x²-5px+$\frac{3}{4}{p}^{2}$=0，
∴x₁+x₂=$\frac{5}{3}$p，
∴|MN|=$\frac{8}{3}$p=$\frac{16}{3}$，
∴p=2，
∴M（3，2$\sqrt{3}$），r=4，
∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-3）²+（y-2$\sqrt{3}$）²=16．
故選：C．

點評 本題主要考查以M為圓心且與拋物線準(zhǔn)線相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查拋物線定義以及拋物線的性質(zhì)，屬于中檔題．