Question

6．在二項(xiàng)式（x+$\frac{3}{x}$）ⁿ的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)之和為A，各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和為B，且A=64B，求二項(xiàng)式（x+$\frac{3}{x}$）ⁿ的展開式中的常數(shù)項(xiàng)．

Answer 1

分析 根據(jù)二項(xiàng)式的展開式各項(xiàng)系數(shù)之和為A，各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和為B，且A=64B，得到次數(shù)n的值，寫出通項(xiàng)式，當(dāng)x的指數(shù)是0時(shí)，得到結(jié)果．

解答 解：令x=1，得A=4ⁿ，…（2分）
而B=2ⁿ，…（4分）
所以4ⁿ=64•2ⁿ，解得n=6   …（6分）
所以T_r+1=C₆^rx^6-r•（$\frac{3}{x}$）^r=C₆^rx^6-2r•3^r，
令6-2r=0，∴r=3，
常數(shù)項(xiàng)：T₄=3³•C₆³=540．…（10分）

點(diǎn)評 本題是一個(gè)典型的二項(xiàng)式問題，主要考查二項(xiàng)式的性質(zhì)，注意二項(xiàng)式系數(shù)和項(xiàng)的系數(shù)之間的關(guān)系，這是容易出錯(cuò)的地方，本題考查展開式的通項(xiàng)式，這是解題的關(guān)鍵．