Question

19．偶函數(shù)f（x）（x∈R）滿足：f（-4）=f（2）=0，且在區(qū)間[0，3]與[3，+∞）上分別遞減，遞增，則不等式x•f（x）＜0的解集為（-∞，-4）∪（-2，0）∪（2，4）．

Answer 1

分析 由題意可得函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且f（4）=f（2）=f（-2）=f（-4），由不等式xf（x）＜0，可得$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x）＞0}\end{array}\right.$①或$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＜0}\end{array}\right.$ ②．分別求得①②的解集，再取并集，即得所求．

解答 解：∵定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足：f（-4）=f（2）=0，
∴可得函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且f（4）=f（2）=f（-2）=f（-4），
則由在區(qū)間[0，3]與[3，+∞）上分別遞減，遞增，不等式xf（x）＜0，
可得$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x）＞0}\end{array}\right.$①或$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＜0}\end{array}\right.$ ②．
解①求得x＜-4 或-2＜x＜0，解②求得2＜x＜4．
綜上可得，不等式的解集為：（-∞，-4）∪（-2，0）∪（2，4），
故答案為：（-∞，-4）∪（-2，0）∪（2，4）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性以及函數(shù)的零點(diǎn)，屬于中檔題．