Question

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率是

3

2

．F₁，F(xiàn)₂分別為左右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓上且△MF₁F₂的周長為2

3

+4
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）P是橢圓C上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)E（-1，0），求|PE|的取值范圍
（3）直線l過點(diǎn)E（-1，0）且與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若

AE

=2

EB

，求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得

c a = 3 2 2a+2c=2 3 +4

，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設(shè)P（2cosθ，sinθ），0≤θ＜2π，則|PE|=

(2cosθ+1)2+sin2θ

=

3(cosθ+ 2 3 )2+ 2 3

，由此能求出|PE|的取值范圍．
（3）若直線l的斜率不存在，

AE

=2

EB

不成立．若直線l的斜率存在，則設(shè)直線l的方程為y=k（x+1）．由

x2 4 +y2=1 y=k(x+1)

，得（4k²+1）x²+8k²x+4k²-4=0．由此利用根的判別式和韋達(dá)定理能求出直線l的方程．

解答： 解：（1）設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．
由已知得

c a = 3 2 2a+2c=2 3 +4

，…（3分）
解得a²=4，b²=1．
故橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1．…（5分）
（2）∵P是橢圓C：

x2

4

+y2=1．上的任意一點(diǎn)，
∴設(shè)P（2cosθ，sinθ），0≤θ＜2π，
∵點(diǎn)E（-1，0），
∴|PE|=

(2cosθ+1)2+sin2θ

=

3cos2θ+4cosθ+2

=

3(cosθ+ 2 3 )2+ 2 3

，
∴|PE|的取值范圍是[

6

3

，3]．
（3）由已知，若直線l的斜率不存在，
則過點(diǎn)E（-1，0）的直線l的方程為x=-1，
此時(shí)A（-1，

3

2

），B（-1，-

3

2

），
由題意知

AE

=2

EB

不成立．…（6分）
若直線l的斜率存在，則設(shè)直線l的方程為y=k（x+1）．
則

x2 4 +y2=1 y=k(x+1)

，
整理得（4k²+1）x²+8k²x+4k²-4=0．…（8分）
由△=（8k²）²-4（4k²+1）（4k²-4）=48k²+16＞0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=-

8k2

4k2+1

，①x1x2=

4k2-4

4k2+1

． ②…（9分）
因?yàn)?span id="0ygtgtb" class="MathJye">

AE

=2

EB

，即x₁+2x₂=-3．③
①②③聯(lián)立解得k=±

15

6

．…（13分）
∴直線l的方程為

15

x+6y+

15

=0和

15

x-6y+

15

=0．…（14分）

點(diǎn)評：本題考查橢圓方程的求法，考查兩點(diǎn)間距離的求法，考查直線方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓的參數(shù)方程的合理運(yùn)用．