Question

9．已知離心率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$的橢圓Ω：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左，右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，過點F₁的直線與橢圓Ω相交于A，B兩點，△F₂AB的周長為8$\sqrt{3}$．
（1）求橢圓Ω的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）過點F₂且斜率為k的直線l與橢圓Ω相交于M，N兩點，P點的坐標(biāo)為（m，0），以PM、PN為鄰邊的平行四邊形為菱形，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即a=$\sqrt{3}$c，由4a=8$\sqrt{3}$，b²=a²-c²，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（2）由題意可知，將直線方程代入橢圓方程，由韋達(dá)定理求得x₁+x₁，代入直線方程，求得y₁+y₂，由中點坐標(biāo)公式取得Q坐標(biāo)，k_PQ=-$\frac{1}{k}$，代入即可求得m=$\frac{2{k}^{2}}{2+3{k}^{2}}$=$\frac{2}{3+\frac{2}{{k}^{2}}}$，根據(jù)k的取值，即求得m的取值范圍．

解答 解：（1）由題意可知：e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即a=$\sqrt{3}$c，
4a=8$\sqrt{3}$，即a=2$\sqrt{3}$，
∴c=2，
由b²=a²-c²=12-4=8，
∴橢圓Ω的標(biāo)準(zhǔn)方程$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{8}=1$；
（2）由題意可知k≠0，設(shè)直線l的方程為：y=k（x-2），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點為為Q，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{8}=1}\end{array}\right.$，得（2+3k²）x²-12k²x+12k²-24=0，
∴x₁+x₁=$\frac{12{k}^{2}}{2+3{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{12{k}^{2}-24}{2+3{k}^{2}}$，
y₁+y₂=k（x₁-2）+k（x₁-2）=$\frac{-8k}{2+3{k}^{2}}$，
由中點坐標(biāo)公式可知：x_Q=$\frac{6{k}^{2}}{2+3{k}^{2}}$，y_Q=$\frac{-4k}{2+3{k}^{2}}$，
∴Q（$\frac{6{k}^{2}}{2+3{k}^{2}}$，$\frac{-4k}{2+3{k}^{2}}$），
∴k_PQ=$\frac{\frac{-4k}{2+3{k}^{2}}}{\frac{6{k}^{2}}{2+3{k}^{2}}-m}$=$\frac{-4k}{6{k}^{2}-（2+3{k}^{2}）m}$=-$\frac{1}{k}$，
解得：m=$\frac{2{k}^{2}}{2+3{k}^{2}}$=$\frac{2}{3+\frac{2}{{k}^{2}}}$，
∴0＜m＜$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，韋達(dá)定理，中點坐標(biāo)公式，斜率公式的綜合應(yīng)用，考查函數(shù)的取值范圍，屬于中檔題．