Question

17．在△ABC中，已知（$\sqrt{3}$sinB-cosB）（$\sqrt{3}$sinC-cosC）=4cosBcosC，且AB+AC=4，則BC長(zhǎng)度的取值范圍為（　�。�

• A． （0，2]
• B． [2，4）
• C． [2，+∞）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 先根據(jù)已知條件結(jié)合兩角和與差的計(jì)算公式整理得到B+C=$\frac{2π}{3}$，A=$\frac{π}{3}$，再集合余弦定理以及二次函數(shù)的最值和三角形三邊關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答 解：由已知：（$\sqrt{3}$sinB-cosB）（$\sqrt{3}$sinC-cosC）=4cosB•cosC，
可得：$\sqrt{3}$（sinBcosC+cosBsinC）=-3（cosBcosC-sinBsinC），
⇒$\sqrt{3}$sin（B+C）=-3cos（B+C）
⇒tan（B+C）=-$\sqrt{3}$；
因?yàn)椋?＜B+C＜π；
所以：B+C=$\frac{2π}{3}$，A=$\frac{π}{3}$，
由：AB+AC=4，得：AB=4-AC，
故：BC²=AB²+AC²-2AC•ABcosA
=（4-AC）²+AC²-（4-AC）AC
=3（AC-2）²+4≥4；
當(dāng)且僅當(dāng)AC=2時(shí)上式取等號(hào)，
所以：BC≥2，
又因?yàn)椋築C＜AC+AB=4，
則BC的取值范圍是：[2，4）．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，余弦定理的運(yùn)用．考查了學(xué)生對(duì)三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的整體把握和理解，屬于中檔題．