Question

2．已知三棱錐S-ABC外接球的表面積為32π，∠ABC=90°，三棱錐S-ABC的三視圖如圖所示，則其側(cè)視圖的面積的最大值為（　　）

• A． 4
• B． $4\sqrt{2}$
• C． 8
• D． $4\sqrt{7}$

Answer 1

分析 根據(jù)三棱錐S-ABC外接球的表面積為32π，求出高SC=h的值，∵ABC是直角三角形，設(shè)AB=m，
由三視圖可知：SBC，ABS是直角三角形，建立關(guān)系，利用基本不等式求解．

解答 解：根據(jù)三棱錐S-ABC外接球的表面積為32π，設(shè)高SC=h，則有：4²+h²=（2R）²，
又∵${S}_{球}=4π{R}^{2}=32π$，
解得：SC=h=4，
由三視圖可知：ABC，SBC，ABS是直角三角形，設(shè)AB=m，AC=x+4-x=4，BC=n，則有：m²+n²=4²
∵m²+n²≥2mn，當(dāng)且僅當(dāng)n=m時，取等號．
∴8≥mn，
側(cè)視圖的底邊為：$m×n×\frac{1}{4}$=$\frac{mn}{4}$
側(cè)視圖的面積為S=$\frac{1}{2}$×$\frac{mn}{4}×h$=$\frac{mn}{2}$≤$\frac{8}{2}$=4
所以：側(cè)視圖的最大面積為4．
故選A．

點評 本題考查了三視圖的認(rèn)識和理解，同時考查了三棱錐外接圓與棱邊的關(guān)系．本題關(guān)系是利用外接圓求出高．再利用底面是直角三角形，斜邊等于4，構(gòu)造基本不等式從而求解．屬于中檔題．